Moment là một trong những tham số đặc trưng quan trọng nhất trong việc nghiên cứu quy luật phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên, hay tổng quáthơn là các quá trình ngẫu nhiên. Năm 1887, nhà toán học Chebyshev lần đầu giới thiệu phương pháp moment trong việc chứng minh sự tồn tại của định lý giới hạn trung tâm cho một số mô hình xác suất, làm nền tảng cho sự phát triển đến tận ngày nay và phương pháp này đã được giới thiệu lại trong tài liệu của Billingsley (1995). Từ đó rất nhiều nghiên cứu liên quan đến phương pháp moment đã được công bố trong các tài liệu như Norris (1998); Ross (2010); Chương và ctv. (2021); Chương (2021); và Chương và ctv. (2024). Ngoài ra, một trong những quá trình ngẫu nhiên quan trọng và có nhiều ý nghĩa trong khoa học cũng như trong đời sống là mô hình bước đi ngẫu nhiên. Đây là một đối tượng nghiên cứu đã và đang được rất nhiều nhà toán học quan tâm cùng mức độ đào sâu khai thác vấn đề đạt được gần như tường tận. Tuy nhiên, với những ứng dụng ngày càng mạnh mẽ trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong lý thuyết trò chơi, thì nhiều vấn đề cần nghiên cứu mới lại được phát sinh. Trong kết quả nghiên cứu mới gần đây, Chương và ctv. (2024) đã đưa ra giới hạn của phương sai cho bước đi ngẫu nhiên trong không gian trạng thái aℤ trong mô hình trò chơi không công bằng thông qua việc xác định các moment bậc 1 và bậc 2 của quá trình. Từ đó, nó trở thành động lực thúc đẩy việc tiếp tục nghiên cứu các moment bậc cao hơn nhằm làm phong phú hơn nữa các tính chất của bước đi ngẫu nhiên với không gian trạng thái rời rạc ℤ. So với các moment bậc thấp thì vấn đề trở nên phức tạp hơn rất nhiều khi xét cho moment với bậc bất kỳ vì các phép toán trở nên cồng kềnh và khó khăn hơn. Điều này đòi hỏi cần nhiều công cụ hơn để giải quyết vấn đề. Ngoài ra, một trong những ứng dụng quan trọng của moment bậc cao là để chứng minh sự tồn tại của định lý giới hạn trung tâm hay luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên. Đây được xem là một phương pháp khá hiệu quả trong nghiên cứu các dạng hội tụ của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc.

Mô hình được nghiên cứu trong phạm vi bài báo này thuộc lớp các bước đi ngẫu nhiên không cân bằng với các giá trị lân cận gần nhất. Cụ thể, xét bước đi ngẫu nhiên (𝑋𝑋𝑛𝑛)𝑛𝑛≥0 trong không gian trạng thái ℤ với điều kiện ban đầu là 𝑋𝑋0 = 0 và các xác suất chuyển được cho bởi các biểu thức sau

𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑛𝑛+1 = 𝑘𝑘 + 1│𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑘𝑘) = 𝛽𝛽,

𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑛𝑛+1 = 𝑘𝑘|𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑘𝑘) = 1 - 𝛽𝛽 - 𝛾𝛾,

𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑛𝑛+1 = 𝑘𝑘 - 1|𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑘𝑘) = 𝛾𝛾,

Trong đó 𝛽𝛽 và 𝛾𝛾 là các số dương thỏa 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾 ≤ 1. Ngoài ra, ta giả sử rằng 𝛾𝛾 < 𝛽𝛽 như là điều kiện của bước đi ngẫu nhiên lệch phải, tức là quá trình có khuynh hướng dịch chuyển về bên phải trên trục số nguyên ℤ.

Qua kết quả nghiên cứu cho thấy công cụ giải tích trong bài bài viết này đã giải phương trình hàm để xác định moment bậc bất kỳ của bước đi ngẫu nhiên với không gian trạng thái rời rạc. Nhờ tính chất nghiệm của phương trình Poisson mà ta có thể chỉ ra sự liên hệ giữa các kỳ vọng của biến ngẫu nhiên thay vì phải tính toán trực tiếp rất phức tạp. Đây là một công cụ hữu hiệu cho các dạng bài toán liên quan đến lớp các quá trình ngẫu nhiên có tính chất truy hồi, phụ thuộc nhau và có tính Markov.