Đồ thị chuyển vị của nút A theo thời gian

Dao động riêng của công trình, với hai đặc trưng là tần số dao động riêng và dạng dao động riêng, đó là những đặc trưng động học quan trọng trong thiết kế và phân tích kết cấu công trình. Việc các tần số dao động riêng và dạng dao động của công trình được xác định chính xác giúp các kỹ sư thiết kế các công trình an toàn hơn và bền vững hơn trước các tác động động lực.

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một công cụ rất mạnh mẽ và linh hoạt trong việc phân tích kết cấu, nó đã được phát triển nhanh chóng và ứng dụng giải quyết rất nhiều bài toán cơ học. Tuy nhiên, FEM có một nhược điểm trong bài toán phân tích động lực học của kết cấu: FEM sử dụng hàm dạng là trường chuyển vị tĩnh để xấp xỉ chuyển vị của kết cấu, bỏ qua yếu tố động lực khi mô tả ứng xử của kết cấu trong các bài toán động lực học tổng quát. Do đó để đạt độ chính xác mong muốn, FEM cần phải rời rạc kết cấu thành nhiều phần tử nhỏ.

Từ các vấn đề vừa nêu, một phương pháp có thể khắc phục được nhược điểm trên của FEM đã được phát triển, đó là phương pháp độ cứng động lực (Dynamic Stiffness Method – DSM). DSM được ra đời với mục đích chính là sử dụng hàm dạng của phần tử hữu hạn sao cho trường chuyển vị động của nó thỏa mãn phương trình cân bằng động. Điều này giúp tăng độ chính xác trong phân tích dao động của kết cấu.

Một nghiên cứu gần đây của Kumar and Jana (2023) đã áp dụng DSM để phân tích chính xác dao động của các tấm hình chữ nhật biến đổi theo hàm sigmoid đặt trên nền đàn hồi. Kết quả từ nghiên cứu này cho thấy độ chính xác của phương pháp trong việc xử lý các sự biến đổi phức tạp về vật liệu và tương tác với nền móng. Trước đó, Banerjee (2003) đã sử dụng DSM để phân tích dao động tự do của dầm sandwich, bao gồm các lớp mặt ngoài cứng và lớp lõi nhẹ. Ngoài ra, Banerjee and Williams (1992) đã nghiên cứu ứng dụng DSM để phân tích dầm Timoshenko chịu đồng thời uốn và xoắn. Các nghiên cứu trong nước gồm có Tran (2005) đã xây dựng ma trận độ cứng động lực và vectơ tải trọng nút của phần tử dầm chịu uốn tổng quát. Bên cạnh đó, Do (2008) sử dụng phương pháp DSM để phân tích tần số dao động riêng của các hệ thanh phẳng. Ngoài ra, (Le et al., 2021) cũng đã phân tích tìm tần số dao động riêng của hệ thanh không gian bằng DSM. Việc áp dụng phương pháp DSM vào phân tích động lực học của hệ thanh không gian, bao gồm xác định tần số và các dạng dao động riêng của kết cấu, cũng như phân tích chuyển vị của kết cấu khi chịu tải trọng động dạng điều hòa, đã được trình bày trong bài nghiên cứu. Các kết quả trong nghiên cứu được xét trong hai trường hợp: có xét và không xét ảnh hưởng của lực dọc nén trong thanh đến kết quả phân tích.

Ma trận độ cứng động lực trong hệ toạ độ địa phương trong trường hợp không cản có dạng (Tran, 2005):

𝐷𝐷(𝜔𝜔) = 𝐾𝐾(𝜔𝜔) − 𝜔𝜔²𝑀𝑀(𝜔𝜔)                (1)

Trong đó, K(ω) và M(ω) lần lượt là ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử, chúng phụ thuộc vào các đặc trưng hình học, vật liệu của phần tử và tần số tải tác động ω.

Bài toán xác định tần số dao động riêng của kết cấu trong phương pháp độ cứng động lực (DSM) là một bài toán trị riêng phi tuyến (Non-Linear Eigenproblem). Trong trường hợp không cản và có xét đến ảnh hưởng của lực dọc nén, bài toán trị riêng phi tuyến này có dạng:

[𝐷𝐷(𝜔𝜔) −𝐷𝐷_𝐺𝐺(𝜔𝜔)]{𝑞𝑞} = {0}               (2)

Trong đó, [D(ω)] là ma trận độ cứng động lực, 𝐷𝐷_𝐺𝐺(𝜔𝜔) là ma trận độ cứng hình học, {q} là vectơ chuyển vị nút của kết cấu.

Mục tiêu của nghiên cứu là phân tích động lực học của hệ thanh không gian bằng phương pháp độ cứng động lực. Nghiên cứu trình bày cách xây dựng các ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh thẳng chịu lực dọc trục, chịu xoắn và chịu uốn có xét đến ảnh hưởng của lực dọc trong thanh. Từ đó, các ma trận trên được sử dụng để xây dựng ma trận độ cứng động lực cho phần tử thanh chịu lực tổng quát và ứng dụng nó vào việc phân tích động lực học của hệ thanh không gian, bao gồm việc tìm tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng, phân tích chuyển vị của kết cấu khi chịu tải trọng động dạng điều hòa. So sánh các kết quả tính toán của phương pháp độ cứng động lực với các kết quả của phương pháp phần tử hữu hạn cho thấy độ chính xác của phương pháp độ cứng động lực.

Qua kết quả nghiên cứu, khi phân tích động lực học của kết cấu hệ thanh, phương pháp ma trận độ cứng động lực mang lại kết quả phân tích chính xác mà không cần chia nhỏ phần tử như trong phương pháp phần tử hữu hạn. Khi xem xét thêm ảnh hưởng của lực nén dọc trong các cột, các tần số riêng cơ bản của kết cấu sẽ bị giảm và chuyển vị của kết cấu tăng lên. Điều này khiến kết cấu hoạt động kém hiệu quả hơn dưới tác dụng của tải trọng. Trong thực tế, các công trình như cầu, tòa nhà cao tầng hay các kết cấu cột chịu lực cần được kiểm tra kỹ lưỡng về ảnh hưởng của lực nén. Từ kết quả nghiên cứu, DSM đã được chứng minh là một công cụ mạnh mẽ và hiệu quả trong phân tích động lực học kết cấu. Nó giúp các kỹ sư và nhà nghiên cứu nâng cao chất lượng thiết kế, đảm bảo an toàn và tối ưu hóa cho kết cấu công trình.